Cubique

Aujourd’hui, je vais vous parler de courbure.

Initialement, je n’avais implémenté que deux types d’éléments (CourbeElementaire) pour construire des circuit ferroviaire. L’ensemble du réseau était constitué des segments (Segment) et d’arc de cercle (Arc). C’est déjà pas mal : cela permet d’aller tout droit et de tourner. Toutes les lignes de MSTS n’étaient d’ailleurs constituées que de ces deux éléments.

Il y a tout de même un inconvénient à cela. Si vous entamez un virage à grande vitesse, vous allez voir que vous passez brusquement de « l’horizon ne défile pas » à « l’horizon défile à vitesse constante ». Autrement dit dΨ/dt n’est pas continu. De même, si vous calculiez l’accélération latérale, vous constateriez qu’elle s’établit brutalement. Tout cela n’est pas très « physique » !

Qu’est ce que la courbure ? C’est l’inverse du rayon : Crb = 1/R = dΨ/ds. Pour décrire à quel point une courbe tourne, la courbure peut être plus pratique que le rayon. En effet, quand on va tout droit, le rayon est infini, la courbure est nulle. Plus on tourne à gauche (courbure négative) ou à droite (courbure positive), plus la courbure devient grande (en absolu), alors que le rayon devient plus petit.

Quand on tourne le volant d’une voiture, cela revient à piloter de manière quasi linéaire la courbure de la trajectoire de la voiture. Comme on ne saute pas d’une position du volant à une autre, la courbure de la trace au sol de la voiture est continue. Pensez à ce moment sur autoroute où vous passez de la ligne droite au virage établi : il y a une phase où pour suivre sa file, il faut tourner progressivement le volant. D’où l’idée de créer un élément de circuit à courbure variable.

Quel contrat doit remplir une CourbeElementaire ? Elle doit pouvoir donner sa longueur et pour toute abscisse curviligne sur cet élément (ou ratio), indiquer le point dans l’espace (Point) et l’angle (AngleEuler) qui y correspondent.

Considérons une courbe dont la courbure varie linéairement de zéro à une courbure C0. On a Crb = C0*s/longueur. On a donc par intégration Ψ = 1/2*C0*s^2/longueur. De même, on a dy/ds = sin(Ψ) et dx/ds = cos(Ψ). Comme Ψ reste faible, on approxime sin(Ψ) par Ψ et cos(Ψ) par 1. Par intégration, on obtient x = s et y = 1/6*C0*s^3/longueur. En choisissant un Ψ final, on obtient longueur = 2*Ψ0/C0. Comme la déviation latérale (y) est proportionnelle à l’abscisse curviligne au cube, j’ai appelé ce genre de courbe une Cubique.

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